Microsoft.Azure.Mobile.Clientを追加すると

Xamarin.FormsでMicrosoft.Azure.Mobile.Clientを使用したくて現在はまり中（－－）

まず、テンプレートで、Xamarin.Forms(UWP/Android/iOS)を選択して、
何度かリビルドしたりソリューションを再起動したりして、エラー一覧に警告も何も出ない状態にして、UWP/Android/iOS、それぞれデバッガー上で実行して正常に起動することを確認。

その後、ソリューションを右クリックして「ソリューションの NuGet パッケージの管理」を選択して、

全てのプロジェクトに「Microsoft.Azure.Mobile.Client」をインストールしてリビルドすると、

この時点でのエラーと警告はこんな感じ。

とりあえずこの時点で、AndroidとiOSをデバッグ実行すると、起動することは確認。

そして、Azureのポータルのクイックスタートで表示されたとおりに、MobileServiceClientのインスタンス作成コード（using も当然追加）を、App.csに追記する。

この状態で、再度AndroidとiOSをデバッグ実行すると、Androidは問題なく起動するが、iOS側はエラーが発生してしまう。

もちろん、警告は出ているのでここらにヒントがあるような気もしますが、単純に支持されたとおりに、AutoGenerateBindingRedirectsをtrueにしただけではダメそうですね。

2016/06/27追記
どなたか、解決方法ご存じの方いらっしゃいませんか？
facebookの「Japan Xamarin User Group(JXUG)」で下記のアドバイスをいただきました。ありがごうございます！！

Azureポータルのクイックスタートには、特にそのような記述はなさそうですが、どうやら、iOSのプロジェクト側では、MobileServiceClientのインスタンス作成前に、初期化処理が必要みたいです。

iOS側のプロジェクトのAppDelegate.csでAppクラスのインスタンス作成前に、

　Microsoft.WindowsAzure.MobileServices.CurrentPlatform.Init();

の一行を追加したらとりあえず起動はできました。
無事、動作するのかは別問題ですが(笑)

ちなみに、起動は初期化処理を入れなくてもできますが、どうやらAndroid側にも同様の初期化処理が必要みたいです。